Les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel

Une classe est associée à une propriété d'une seul élément; c'est à dire que l'on se donne une assertion comportant une et une seule variable libre; un élément est dans la classe correspondante s'il vérifie l'assertion. Les formules comportant plusieurs variables libres sont appelées relations. Eventuellement on peut avoir une distinction entre des variables et des paramètres; dans ce cas on a une classe pour chaque valeur possible des paramètres.
La théorie des ensembles est basée sur un ensemble d'axiomes. Les objets de cette théorie sont appelés ensembles, et la classe des ensembles est appelée univers. Les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sont les suivants:

Axiome Axiome d'extensionalité:

( deux ensembles sont égaux si et seulement si ils contiennent exactement les mêmes éléments )

Axiome Axiome de l'union:

( une union d'ensembles est un ensemble )

Axiome Axiome de l'ensemble des parties:

( les parties d'un ensembles forment une partie. On note l'assertion )

Axiome Axiome du schéma de remplacement:
Etant donné une formule de paramètres , définissant pour toute valeur des une fonction, alors:

On ajoute usuellement un axiome supplémentaire à ces axiomes:

Axiome axiome de l'infini, qui affirme qu'il existe un ordinal infini. Nous verrons plus loin ce qu'est un ordinal, et ce qu'est un ordinal fini.

Théorème La consistance de ces axiomes n'est pas changée si on remplace l'axiome de l'infini par sa négation.

Démonstration Voir [12]...

On appelle paire l'ensemble . Ne pas confondre avec le couple , qui désigne en fait l'ensemble . On note de même l'ensemble , et ainsi de suite pour les -uplets ordonnés.
La différence entre et est que dans le premier cas l'ordre des termes n'influe pas, alors que dans le second elle influe. On démontre l'associativité et la commutativité de l'union. On notera l'ensemble des parties de l'ensemble .

On notera que toutes les opérations intuitives sur les ensembles sont possibles, enfin presque. On peut en tout cas utiliser les intersections, définir l'ensemble des éléments d'un ensemble donné qui vérifient une propriété donnée, on peut travailler sur l'ensemble des parties d'un ensemble, on peut travailler sur un produit cartésien d'ensembles, bref toutes ces choses sans lesquelles les maths prendraient vraiment la tête. On peut aussi montrer l'existence et l'unicité de l'ensemble vide.