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Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures Topologie quotient

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Topologie quotient

On suppose

muni d'une relation d'équivalence ${\cal R}$

. On note $\pi$ la projection canonique de

sur l'ensemble quotient

Définition [Topologie quotient] La topologie quotient est définie comme suit:
$U \subset X / {\cal R}$ est ouvert si et seulement si $\pi^{-1}(U)$ est ouvert.

On peut vérifier facilement qu'il s'agit bien d'une topologie.

Proposition

Soit un espace topologique, et ${\cal R}$ une relation d'équivalence sur . On note $\Pi$ la projection canonique de sur $X/{\cal R}$ .

Les propriétés suivantes de la topologie quotient sur $X/{\cal R}$ sont fondamentales:

- la projection canonique est continue (c'est à dire que l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert)

- la projection canonique est ouverte (c'est à dire que l'image de tout ouvert est un ouvert) si la relation d'équivalence est associée à un groupe agissant par homéomorphismes sur (voir partie ).

Démonstration: Il est clair par définition que la projection canonique est continue. Pour la réciproque il suffit de voir que si est un ouvert de , $\Pi^{-1}(\Pi(U))$ est la réunion des pour dans le groupe d'homéomorphismes agissant sur . $\sqcap$ $\sqcup$

La topologie quotient sert un peu partout, par exemples elle définit une topologie sur un espace projectif et le rend compact pour cette topologie (voir le théorème ).