Topologie définie par une famille de parties d'un ensemble

Lemme Une intersection quelconque de topologies est une topologie.

Démonstration: Evident en revenant à la définition d'une topologie.

Définition Si une topologie est incluse dans une topologie , on dit que est plus fine que , ou que est moins fine que .

Proposition Soit une famille de parties de ; l'intersection de toutes les topologies contenant est une topologie, c'est la plus petite topologie contenant . On la note , et on dit que c'est la topologie engendrée par . est la famille des réunions arbitraires d'intersections finies de parties de . Les intersections finies de parties de forment une base d'ouverts pour cette topologie.

Démonstration: Il suffit de considérer le lemme pour avoir l'existence de la plus petite topologie contenant . Le reste est un petit exercie pas trop dur...