Le théorème de Tykhonov

Théorème [Théorème de Tykhonov] Soit une famille d'espaces tous non vides. Le produit est compact si et seulement si chacun des facteurs l'est.

Démonstration: On a déjà montré que le produit est séparé si chacun des facteurs l'est (voir ). La compacité du produit entraîne la compacité de chacun des facteurs comme on peut s'en rendre compte en considérant la projection canonique sur chacun des facteurs. Il reste donc à voir la réciproque, c'est à dire que est compact, si chacun des facteurs l'est. On trouvera une démonstration dans Bourbaki, ou bien dans [13]. La démonstration utilise le lemme de Zorn .

Il est important de noter que l'on peut prouver Tykhonov dans le cas d'un produit dénombrable de compacts métriques sans faire appel à l'axiome du choix. Cela se fait simplement en considérant:
La métrique associée à la métrique , avec .
La métrique sur le produit des compacts définie par .
La topologie de cette métrique est la topologie produit.
Il ne reste plus qu'à utiliser la caractérisation des compacts métriques par les sous-suites (théorème de Bolzano-Weierstrass, théorème ).

Dans le cas d'un produit fini de compacts métriques, la preuve est évidente.

Corollaire Les compacts de sont les fermés bornés.

Démonstration: Etant donnée une partie bornée, on considère un produit d'intervalles fermés bornés dans lequel cette partie est incluse, et le résultat vient tout seul.