Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures

Warning: include() [function.include]: Unable to access ../../../visiteurs-2.0/include/new-visitor.inc.php3 in /var/www/www.les-mathematiques.sesamath.net/htdocs/a/a/b/node4.php3 on line 1

Warning: include(../../../visiteurs-2.0/include/new-visitor.inc.php3) [function.include]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/www.les-mathematiques.sesamath.net/htdocs/a/a/b/node4.php3 on line 1

Warning: include() [function.include]: Failed opening '../../../visiteurs-2.0/include/new-visitor.inc.php3' for inclusion (include_path='.:/usr/share/php:/usr/share/pear') in /var/www/www.les-mathematiques.sesamath.net/htdocs/a/a/b/node4.php3 on line 1
Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures Espaces métriques et espaces normés

A lire

Deug/Prï¿½pa

Licence

Agrï¿½gation
A télécharger

Télécharger

personnes(s) sur le site en ce moment.

A. Grothendieck

Les maths pour l'agreg

A lire

Articles

Math/Infos

Rï¿½crï¿½ation
A télécharger

Télécharger

Thï¿½orï¿½me de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

suivant: Notion de voisinage monter: Espaces topologiques précédent: Cas le plus général Index

Espaces métriques et espaces normés

Définition [Métrique] Une métrique ou distance sur l'ensemble est une application $d:X \times X \rightarrow [0,+\infty[$ vérifiant:
$\bullet$ $d(x,y)=0 \iff x=y$
$\bullet$
$\bullet$ $d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$ (propriété dite inégalité triangulaire)
On dit alors que est un espace métrique.

Exemples:
$\bullet$ $d_p=(\sum \vert x_i-y_i\vert^p)^{1/p}$
$\bullet$ $d_\infty=max\vert x_i-y_i\vert$

Propriété:

$\bullet$ $\vert d(x,z)-d(y,z)\vert \leq d(x,y)$

Définition [Boules] Si est un point de l'espace métrique et $r \in [0,+\infty[$ , on appelle boule ouverte (resp. fermée) de centre et de rayon , l'ensemble des tels que (resp. $d(x,y) \leq r$ ).
On appelle sphère de l'espace métrique de centre et de rayon l'ensemble des tels que .

Proposition Si est un espace métrique, la famille de parties de dont les éléments sont les réunions arbitraires de boules ouvertes est une topologie sur . Cette topologie est appelée la topologie associée à la métrique.

Une partie d'un espace métrique est dite bornée si étant donné un point dans la distance de à pour dans est majorée par une certaine constante ^1.1. Cela équivaut aussi au fait que la distance entre deux points quelconques de est bornée. C'est à dire que :

- si pour un point , $y \mapsto d(x,y)$ est bornée, alors pour tout point , $y \mapsto d(x,y)$ est bornée.

- si pour tout point $y \mapsto d(x,y)$ est bornée, alors $(x,y)\mapsto d(x,y)$ est aussi bornée.

Démonstration: La vérification est fastidieuse et ne présente pas de difficulté. $\sqcap$ $\sqcup$

La notion de borné dépend de la métrique et pas de la topologie! C'est à dire que même si deux métriques sont topologiquement équivalentes (voir définition ) elles n'ont pas nécessairement les mêmes parties bornées. En fait pour toute métrique , on peut construire une métrique équivalente par $d'(x,y)=ln(1+\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)})$ , telle que toute partie soit bornée.

Propriétés:
$\bullet$ Dans un espace métrique, une partie est fermée si et seulement si elle contient la limite de toute suite convergente à valeurs dans cette partie.
$\bullet$ Une boule ouverte est ouverte, et donc un espace métrique est séparé
$\bullet$ Une boule fermée est fermée
$\bullet$ Une sphère est fermée
$\bullet$ Dans un espace métrique, une suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers si et seulement si tend vers 0.

Exercice 1

$\bullet$ La topologie usuelle sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ est la topologie associée à la distance $d(x,y)=\vert x-y\vert$ .
$\bullet$ La fonction qui à et associe 0 si et sinon est une métrique. Cette métrique est associée à la topologie discrète, pour laquelle toute partie est à la fois un ouvert et un fermé.
$\bullet$ Si est injective de dans $\mathbb{R}$ , alors la fonction qui à et associe $\vert f(x)-f(y)\vert$ est une distance sur .
$\bullet$ La topologie usuelle sur $\overline \mathbb{R}=\mathbb{R}\cup \{-\infty,\infty\}$ est définie par la distance $d(x,y)=\vert f(x)-f(y)\vert$ , avec $f(x)=\frac x{1+\vert x\vert}$ , $f(+\infty)=1$ et $f(-\infty)=-1$ .

Définition [Isométrie] Etant donnés deux espaces métriques et , une application de dans est une isométrie si $\forall (x,y)$ .

Définition [Métrisable] Une topologie est dite métrisable si et seulement si il existe une métrique telle que la topologie soit associée à cette métrique.

Deux métriques et sont dites équivalentes si il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha d_1 < d_2 < \beta d_1$ ^1.2, avec $\alpha ,\beta > 0$ .

Deux métriques sont dites topologiquement équivalentes si elles définissent la même topologie.

Soient deux distances et sur un espace ; alors l'identité de dans est un homéomorphisme si et seulement si et sont topologiquement équivalentes, et elle est lipschitzienne et d'inverse lipschitzien ^1.3 si et seulement si et sont équivalentes.

Proposition [Existence de topologie non métrisables] Il existe des topologies, même séparées, non métrisables.

Démonstration: Il est clair que toute topologie non séparée n'est pas métrisable.

Considérons, pour avoir un contre-exemple plus intéressant, une topologie séparée non métrisable. Ce contre-exemple fait appel à quelques notions qui seront définies ultérieurement, et peut donc être laissé de côté en première lecture.

Soit $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ , muni de la topologie produit.

Supposons que cet espace topologique soit métrisable.

Alors tout point est à base dénombrable de voisinage.

Soit une base de voisinages de 0.

Alors pour tout , contient un voisinage de 0 (la fonction nulle de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ ) de la forme

$\displaystyle V_n=\{f\in \mathbb{R}^\mathbb{R}/ \forall i \in [1,N_n] \vert f(x_{n,i})\vert<\epsilon _n\}$

On considère alors

l'ensemble des $x_{n,i}$ pour $i\leq N_n$ et $n\in \mathbb{N}$ .

Cet ensemble est dénombrable comme union dénombrable d'ensemble finis.

Soit maintenant dans $\mathbb{R}$ n'appartenant pas à .

Alors $\{f\in\mathbb{R}^\mathbb{R}/ \vert f(x)\vert<\epsilon \}$ est un ouvert, qui n'est manifestement inclus dans aucun .

Il est à noter que $\{0,1\}^\mathbb{R}$ convient aussi. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition

Une topologie métrisable est entièrement caractérisée par les propriétés de convergence de suites.

C'est à dire que si pour deux topologies métrisables, les suites convergentes sont les mêmes et ont mêmes limites, alors ces deux topologies sont égales.

Démonstration: Il suffit de voir que l'on caractérise un fermé d'un métrique par le fait qu'il contient les limites de toute suite convergente d'éléments de . Donc les fermés sont caractérisés par les propriétés de convergence de suite, et donc les ouverts aussi par passage au complémentaire. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition $\bullet$ Si deux distance et sont équivalentes alors et définissent la même topologie.

$\bullet$ on peut avoir la même topologie sans avoir cette relation.

Démonstration: Le premier $\bullet$ est facile, le second s'obtient en considérant , avec une distance quelconque non bornée. $\sqcap$ $\sqcup$
Il est intéressant de noter que même en ajoutant une condition à l'équivalence traduisant que l'on peut se limiter aux "petites" distances, on a un contre-exemple avec par exemple $d_{1/2}$ et qui définissent la même topologie sans être Lipschitz-équivalentes, même sur les petites distances.
On peut aussi noter que les pour $p \geq 1$ sont Lipchitz-équivalentes entre elles, cela se montre par $d_\infty \leq d_p \leq n^{1/p} d_\infty$

Dans la suite $\mathbb{K}$ désigne un des deux corps $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ muni de sa topologie usuelle.

Définition [Norme] Soit un espace vectoriel sur le corps $\mathbb{K}$ , avec $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ . Une norme sur est une application $\parallel . \parallel$ de dans $[0,+\infty[$ vérifiant:
$\bullet$ $\parallel x \parallel = 0$ si et seulement si
$\bullet$ $\forall x,y \in E$ , on a $\parallel x + y \parallel \leq \parallel x \parallel + \parallel y \parallel$
$\bullet$ $\forall \lambda \in \mathbb{K}$ $\forall x \in E$ on a $\parallel \lambda . x \parallel = \vert \lambda \vert \parallel x \parallel$
S'il ne manque que la première propriété, on parle de semi-norme.
On appelle vecteur unitaire un vecteur tel que $\parallel x \parallel=1$ .
Un espace muni d'une norme est appelé espace normé ou espace vectoriel normé.
Dans un espace normé une série $(\sum x_n)$ est dite normalement convergente si $\sum_{i=1}^n {\parallel}x_i {\parallel}$ converge.
Enfin une définition nécessitant la notion de continuité (définie ultérieurement): on appelle isomorphisme de l'espace vectoriel normé dans l'espace vectoriel normé une application linéaire continue bijective de réciproque continue (c'est à dire qu'il s'agit d'un morphisme algébrique (i.e. au sens des espaces vectoriels ) et d'un homéomorphisme).

Exemples:
$\bullet$ Sur $\mathbb{R}^n$ , les applications suivantes sont des normes:
- $(x_1,...,x_n) \mapsto {\parallel}x {\parallel}_\infty = max_{i\in \{1,...,n\}} \vert x_i\vert$
- pour réel $\geq 1$ , $x \mapsto {\parallel}x {\parallel}_p=(\sum_{i\in\{1,...,n\}} \vert x_i\vert^p)^{1/p}$ $\bullet$ Un peu plus difficile: sur $\mathbb{R}[X]$ , les applications suivantes sont des normes:
- $P \mapsto {\parallel}P {\parallel}_0=sup_{x\in[0,1]} \vert P(x)\vert$
- $P \mapsto {\parallel}P {\parallel}_1=\int_0^1\vert P(t)dt$

Propriétés:
$\bullet$ La norme est convexe.

Définition [Distance associée] Etant donnée une norme on définit une distance associée par $d(x,y)=\parallel x - y \parallel$

Définition [Normes équivalentes] Deux normes $\parallel . \parallel_1$ et $\parallel . \parallel_2$ sur un même espace vectoriel sont équivalentes si il existe $\alpha ,\beta > 0$ tels que $\alpha .\parallel x \parallel_1 < \parallel x \parallel_2 < \beta .\parallel x \parallel_1$

Théorème Deux normes sont équivalentes si et seulement si elles définissent la même topologie.
Démonstration: L'une des deux implications résulte de . L'autre s'obtient facilement, l'une des deux inégalités après l'autre, en constatant qu'une boule de centre 0 et de rayon pour l'une des normes contient une boule pour l'autre norme. $\sqcap$ $\sqcup$

Notes

... constante ^1.1: La notion est indépendante du point choisi, grâce à l'inégalité triangulaire.
...\space ^1.2: On dit aussi que et sont Lipschitz-équivalentes.
... lipschitzien ^1.3: Une application est dite bilipschitzienne si elle est lipschitzienne et d'inverse lipschitzien.