Définition [Voisinage]
Soit un espace topologique. Un voisinage de est un ensemble tel qu'il existe un ouvert avec
.
On note par
l'ensemble des voisinages de .
Proposition
Un sous-ensemble d'un espace topologique est ouvert si et seulement si il est un voisinage de chacun de ses points.
Démonstration:
Soit un ouvert , et dans . On a
... Donc est voisinage de .
Soit voisinage de chacun de ses points. A chaque point associons l'ouvert tel que
. La réunion des est un ouvert, contient tous les de et est incluse dans ; c'est donc . Donc est un ouvert.
Proposition Si , espace topologique, et
, et
, alors
.
pour tout
, alors
Démonstration: contient par définition un ouvert contenant ; étant inclus dans , contient ce même ouvert. Donc est un voisinage de .
et contiennent chacun un ouvert contenant ; l'intersection de ces deux ouverts est un ouvert, contient et est inclus dans ; donc est un voisinage de .
un espace topologique
de 
est un ensemble tel qu'il existe un ouvert 
avec
.
l'ensemble des voisinages de 
.
Soit un ouvert 
... Donc 
tel que
. La réunion des 
, et
.
, alors
, 
; donc 
