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Fonctions holomorphes sous le signe $\int$

Théorème Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{C}$ et de $\Omega \times X$ dans $\mathbb{C}$ , avec espace muni d'une $\sigma$ -algèbre ${\cal T}$ et $\mu$ une mesure sur $(X,{\cal T})$ .

On définit la fonction $F(z)=\int_X f(z,x)dx$ .

Hypothèses requises:

$\bullet$ Pour tout $x\mapsto f(z,x)$ est .

$\bullet$ Il existe négligeable tel que pour tout $x\not\in N$ la fonction $z\mapsto f(z,x)$ appartient à $H(\Omega)$ .

$\bullet$ Pour tout compact de $\Omega$ , il existe sur telle que pour tout dans et pour tout $x\not\in N$ , $\vert f(z,x))\vert\leq g(x)$ .

Alors:

$\bullet$ est définie pour tout

$\bullet$ est holomorphe

$\bullet$ $F'(z)=\int_X \frac{\delta f}{\delta z}(z,x) dx$

Démonstration:

Montrons tout d'abord que:

pour tout compact de $\Omega$ , il existe sur telle que pour tout dans et pour tout $x\not\in N$ , $\vert\frac{\delta f}{\delta z}(z,x))\vert\leq h(x)$ .

Pour montrer ce résultat:

$\bullet$ Soit un compact de $\Omega$ .

$\bullet$ Soit $K_\delta$ l'ensemble des dans $\mathbb{C}$ tels que la distance de à soit $\leq \epsilon$ ^1.1.

$\bullet$ L'application qui à associe la distance de à est continue.

$\bullet$ $K_\delta$ est borné, et fermé comme image réciproque d'un fermé par une fonction continue; $K_\delta$ est donc compact.

$\bullet$ Pour tout dans le cercle $S(z,\delta )$ de centre et de rayon $\delta$ est inclus dans $K_\delta$ .

$\bullet$ On choisit $\delta$ suffisamment petit pour que $K_\delta$ soit inclus dans $\Omega$ ( c'est possible car sinon on construit une suite dans $K_{1/n} \cap \mathbb{C}\setminus \Omega$ , on se plonge dans le compact , on considère une limite de suite extraite, elle n'est pas dans $\Omega$ mais elle est dans , d'où contradiction)

$\bullet$ D'après le théorème , pour dans le disque de centre et de rayon $\delta$ ,

$\displaystyle f(z',x)=\frac1{2i\Pi}\int_0^1 \frac{f(z+\delta e^{2i\Pi u},x)}{\delta e^{2i\Pi u}-z'}du$

Les hypothèses du théorème de dérivation sous le signe intégral étant vérifiées, on en déduit:

$\displaystyle \frac{\delta f}{\delta z}(z,x)=\frac{1}{2i\Pi} \int_0^1 \frac{f(z+\delta e^{2i\Pi u},x)}{(\delta e^{2i\Pi u}-z)^2}du$

Et donc

$\displaystyle \frac{\delta f}{\delta z}(z,x)\leq \frac{sup_{K_\delta } f(.,x)}{\delta ^2}$

Donc par hypothèse

$\displaystyle \vert\frac{\delta f}{\delta z}(z,x)\vert \leq \frac1{\delta } g(x)$

La fonction égale à $\frac1{\delta ^2}g$ convient donc pour le résultat que l'on voulait montrer, à savoir:

pour tout compact de $\Omega$ , il existe sur telle que pour tout dans et pour tout $x\not\in N$ , $\vert\frac{\delta f}{\delta z}(z,x))\vert\leq h(x)$ .

Alors, on peut conclure en appliquant le théorème de dérivation sous le signe intégral précédent que :

$\bullet$ est définie pour tout

$\bullet$ est holomorphe

$\bullet$ $F'(z)=\int_X \frac{\delta f}{\delta z}(z,x) dx$ $\sqcap$ $\sqcup$