Définitions, généralités

Soit un ensemble, .

Définition [Algèbre] est une algèbre (on dit aussi parfois clan) si elle vérifie:

Stabilité par union finie
Stabilité par passage au complémentaire

Propriétés:

Stabilité par intersection finie
Stabilité par différence
Une intersection quelconque d'algèbres est une algèbre.

En fait une algèbre est stable par n'importe quelle suite finie d'opérations sur les ensembles.

Exemples:
a)
b)
c)     fini ou cofini
d)     ou     au plus dénombrable
e) ;
f) ;

Définition [-algèbre] est une -algèbre (ou tribu) si elle vérifie:

stabilité par union dénombrable
stabilité par passage au complémentaire

Propriété:

stabilité par intersection dénombrable.
Une -algèbre est une algèbre.
stabilité par différence.
L'image réciproque d'une tribu par une application est une tribu.
Etant donnée une tribu sur , et une application de dans , alors l'ensemble des tels que appartient à est une tribu sur .
Une intersection quelconque de tribus est une tribu.

En fait une -algèbre est stable par n'importe quelle suite dénombrable d'opérations sur les ensembles.

Notez que l'ensemble des parties mesurables au sens de Riemann d'un segment au sens de Riemann est un clan, mais pas une tribu; puisque certaines parties dénombrables ne sont pas mesurables.

Définition [Espace mesurable] est un espace mesurable si est une tribu sur
Une partie de est dite -mesurable si elle appartient à .

Dans les exemples plus haut, tous sont des -algèbres, sauf c), à moins que soit fini.