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Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures -algèbre engendrée

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$\sigma$ -algèbre engendrée

Afin de pouvoir définir la notion de $\sigma$ -algèbre engendrée, nous avons besoin d'un petit lemme (évident!):

Lemme ensemble, $(A_\alpha )$ famille d'algèbres (resp. de $\sigma$ algèbres), alors $\cap A_\alpha$ est une algèbre (resp. une $\sigma$ -algèbre.

Définition un ensemble, ${\cal M}\subset {\cal P}(X)$ famille de parties de , l'algèbre engendrée par ${\cal M}$ (resp. la $\sigma$ -algèbre engendrée par ${\cal M}$ ) est l'intersection de toute les algèbres (resp. $\sigma$ -algèbre ) contenant ${\cal M}$ .
un ensemble, la $\sigma$ -algèbre engendrée par une famille de fonctions de vers des espaces mesurables est la $\sigma$ -algèbre engendrée par les images réciproques d'ensembles mesurables par ces fonctions.

C'est bien une algèbre (resp. $\sigma$ -algèbre ) et c'est la plus petite qui contienne ${\cal M}$ .

la $\sigma$ -algèbre engendré par l'image réciproque d'une famille ${\cal F}$ de sous-ensembles de par une application $f:E\to F$ est l'image réciproque de la $\sigma$ -algèbre engendrée par ${\cal F}$ .

Exemple fondamental:

Définition muni d'une topologie ${\cal T}$ ; la $\sigma$ -algèbre engendrée par ${\cal T}$ s'appelle la $\sigma$ -algèbre borélienne. Ses éléments sont appelés les boréliens.

Dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^n$ , c'est la plus petite $\sigma$ -algèbre contenant les boules ouvertes. C'est aussi la plus petite $\sigma$ -algèbre contenant les boules fermées.

Proposition La $\sigma$ -algèbre engendrée par une base d'ouverts est la $\sigma$ -algèbre engendrée par la topologie; donc lorsqu'un ensemble engendre une topologie, il engendre aussi les boréliens.
Les ensembles suivants engendrent les boréliens de $\mathbb{R}$ :
$\bullet$ les ouverts
$\bullet$ les fermés
$\bullet$ les intervalles ouverts
$\bullet$ les intervalles fermés
$\bullet$ les intervalles fermés bornés
$\bullet$ Les intervalles ouverts bornés
$\bullet$ Les avec $(a,b) \in \mathbb{R}^2$
$\bullet$ Les $]a,+\infty[$
$\bullet$ Les $[a,+\infty[$

Les ensembles suivants engendrent les boréliens de $\overline {\mathbb{R}}$ :
$\bullet$ Les $[a,+\infty]$
$\bullet$ Les $]a,+\infty]$
$\bullet$ Les $[-\infty,a[$
$\bullet$ Les $[-\infty,a]$

Les ensembles suivants engendrent les boréliens de $\mathbb{R}^n$ :
$\bullet$ Les ouverts
$\bullet$ Les pavés ouverts
$\bullet$ Les boules ouvertes
$\bullet$ Les bandes ouvertes:
$\{\mathbb{R}^{i-1} \times ]a,b[ \times \mathbb{R}^{n-i}\}$
$\bullet$ Les pavés compacts
$\bullet$ Les bandes fermées:
$\{\mathbb{R}^{i-1} \times [a,b] \times \mathbb{R}^{n-i}\}$
$\bullet$ Les bandes comme suit:
$\{\mathbb{R}^{i-1} \times ]a,b] \times \mathbb{R}^{n-i}\}$
$\bullet$ Ou les ensembles de la forme suivante:
$\{\mathbb{R}^{i-1} \times ]a,+\infty[ \times \mathbb{R}^{n-i}\}$

Disposer de parties génératrices petites est pratique pour certaines propriétés des boréliens.

Exemple: on munit $\overline {\mathbb{R}}$ d'une distance comme suit:
$d(x,y)=\vert arctan x -arctan y\vert$ avec $arctan(\infty)=\Pi/2$ et $arctan(-\infty)=-\Pi/2$ .
Les boréliens pour cette distance sont engendrés par les $\{]a,+\infty],a\in \mathbb{R}]$ . Toute suite monotone dans $\overline {\mathbb{R}}$ admet une limite, et toute suite dans $\overline {\mathbb{R}}$ admet une valeur d'adhérence.