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Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures Densité, approximation

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Loi forte grd nbre

Nains magiques

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Densité, approximation

Théorème de Stone

compact,

sous-algèbre unitaire de l'algèbre

$C^0(K,\mathbb{R})$ . Si

sépare les points, alors

est dense dans $C^0(K,\mathbb{R})$ pour la norme infinie.

Théorème de Stone, version complexe

compact,

sous-algèbre unitaire de l'algèbre $C^0(K,\mathbb{C})$ stable par passage au conjugué. Si

sépare les points, alors

est dense dans $C^0(K,\mathbb{C})$ pour la norme infinie.

Théorème de Weierstrass

compact de $\mathbb{R}$ , l'ensemble des polynômes de

dans $\mathbb{R}$ est dense dans l'ensemble des fonctions continues de

dans $\mathbb{R}$ pour la convergence uniforme.

pas valable pour les polynômes d'un compact de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ !

Théorème de Lusin

mesurable de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{C}$ , dont le support

est inclus dans un ensemble de mesure finie. Alors pour tout $\epsilon$ il existe

continue sur $\mathbb{R}^n$ égale à

sauf sur un ensemble de mesure $<\epsilon$ , bornée en module par $\sup \vert f\vert$ .

mesurable bornée de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{C}$ , dont le support est inclus dans un ensemble de mesure finie. Alors

est limite simple presque partout d'une suite de fonctions continues et bornées (par la même borne).

$C_c^k(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ ¹ est dense dans $C^k(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ .

¹ Ensemble des fonctions

à support compact de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ .

Si $p \neq \infty$ , $C_c^\infty(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ est dense dans $L^p(\mathbb{R}^n)$ .

Si $p \neq \infty$ , les classes des fonctions en escalier à support compact sont denses dans $L^p(\mathbb{R}^n)$ .

Les classes des fonctions $C^\infty$ à support compact sont denses dans l'ensemble des fonctions de $L^\infty$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ tendant vers 0 en $+\infty$ et en $-\infty$ .

suivant: Trigonométrie monter: Formulaires précédent: Les séries entières Index

C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud

©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001

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