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Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures Transformée de Fourier aarc1

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Transformée de Fourier

hypothèse	conclusion
$g(x)=f(x)e^{i\alpha x}$	$\hat g(t)= \hat f(t-\alpha )$
$g(x)=f(x-\alpha )$	$\hat g(t)=\hat f(t)e^{-i\alpha t}$
	$\hat f$ différentiable
	$\hat f'(t)=\hat g(t)$
	$\hat f(t)= \int_\mathbb{R}f(x) e^{-ixt} d\mu(x)$
	$\hat f$
	${\parallel}f {\parallel}_\infty \leq {\parallel}f {\parallel}_1$
	$x\mapsto \int_\mathbb{R}\hat f (t) e^{ixt} d\mu(t)$
et $\hat f$	est continue et égale à presque partout
	$\hat f$ :

	$\phi_A(f)= \int_{-A}^A \hat f(t) e^{ixt} d\mu(t)$
Théorème	$\lim_{A \to +\infty} \phi_A(f)=f$ (dans )
de	( $f \mapsto \hat f$ isomorphisme de dans ,
Plancherel	défini sur $L^1 \cap L^2$ par la formule ci-dessus et
	prolongé sur par densité FLEMMARD)