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Dérivation de limites

$ E$ et $ F$ des espaces vectoriels normés , $ U$ ouvert de $ E$, $ (f_n)$ suite d'applications de $ U$ dans $ F$ différentiables.

Hypothèses Conclusions
$ f_n$ convergeant simplement vers $ f$, les $ Df_n$ convergeant uniformément vers une certaine application $ g$ de $ U$ dans $ {\cal L}(E,F)$,
$ \bullet $$ f$ différentiable et $ Df=g$
$ \bullet $Pour tout $ C$ convexe borné $ \subset U$ la convergence de $ {f_n}_{\vert C}$ vers $ f_{\vert C}$ est uniforme
$ \bullet $Si les $ f_n$ sont $ C^1$ alors $ f$ est $ C^1$.
$ U$ connexe, $ F$ Banach. $ \exists x_0$ / $ f_n(x_0)$ converge, $ \forall x$ $ \exists V_x$ voisinage de $ x$ tel que la suite des $ {Df_n}_{\vert V_x}$ soit de Cauchy pour la métrique $ d$ définie par

$\displaystyle d(f,g) = sup_{z \in V_x} {\parallel}f(z)-g(z){\parallel}$

(ie la suite des $ Df_n$ converge normalement sur un certain voisinage de tout point)
Alors il existe $ f$ de $ U$ dans $ F$ tel que:
$ \bullet $$ f$ est dérivable en tout point
$ \bullet $la suite des $ f_n$ converge vers $ f$ (simplement)
$ \bullet $tout $ x$ possède un voisinage $ V_x$ tel que les convergences de $ f_n$ et $ Df_n$ restreints à $ V_x$ soient uniformes.
$ \bullet $Si les $ f_n$ sont $ C^1$, $ f$ l'est aussi.

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 
 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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