Plan d'étude d'une courbe parametrée

On procède en 6 étapes, précisées ci-dessous:

1) Préciser le domaine de définition

c'est à dire l'ensemble des points en lesquel les deux applications composantes et sont définis.

2) Recherche de périodes et symétries

 

1. Si et , la fonction est -périodique: on peut alors restreindre l'étude à l'intersection de avec un intervalle de longueur , et on obtient ainsi toute la courbe.

2. Si est symétrique et on a une des symétries suivantes:
   (i) et ( et fcts paires de ),
   (ii) et ( impaire et paire),
   (iii) et ( paire et impaire),
   (iv) et ( et impaires),
   
   alors on restreint l'étude à , et on obtient toute la courbe
   (i) qui est parcourue 2 fois
   (ii) en complétant l'arc par une symétrie par rapport à l'axe
   (iii) en complétant l'arc par une symétrie par rapport à l'axe
   (iv) en complétant l'arc par une symétrie par rapport à l'origine .

3) Rechercher les eventuelles branches infinies:

voir chapitre 

4) Faire un tableau de variations

pour et , en étudiant les signes de et .

5) Etudier les points particuliers

tels que points stationnaires (= singuliers), points doubles: voir chapitre 

6) Tracer la courbe

en s'aidant des résultats précédants, notamment en reportant aussi les points singuliers, tangentes et asymptotes.