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Etude de points particuliers

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Etude de points particuliers

Définition On suppose que $x:t\mapsto x(t)$ et $y:t\mapsto y(t)$ sont dérivables en . Le vecteur $\vec V'(t_0)=(x'(t_0),y'(t))$ est appelé le vecteur dérivée de en . On note aussi $\vec V'(t_0)$ par $\frac{\rm d}{{\rm d} t}\overrightarrow{OM}(t_0)$ .

$\bullet$ Si $\vec V'(t_0)\ne\vec o$ , c'est à dire $(x'(t_0),y'(t_0))\ne(0,0)$ , le point est dit point ordinaire. La droite de vecteur directeur $\vec V'(t_0)$ et passant par est appelée tangente à $\CC$ en .
Une représentation paramétrique de est donc donnée par

$% latex2html id marker 1952 $\displaystyle T:\CASES{ x=x(t_0)+x'(t_0){\text .}(t-t_0)\\ y=y(t_0)+y'(t_0){\text .}(t-t_0) } t\in\D ~. $$

et on peut en déduire facilement une équation de la forme $y=m\,x+b$ (ou

) en exprimant

dans la deuxième équation en terme de

à l'aide de la première équation:

$\displaystyle y=y(t_0)+\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}(x-x(t_0)) ~.$

$\bullet$ Si $\vec V'(t_0)=\vec o$ , c'est à dire

, alors le point

est dit stationnaire ou singulier.

Etude en un point stationnaire .

On suppose que les fonctions et sont au plusieurs fois dérivables.

Si et $(x''(t_0),y''(t_0))\ne(0,0)$ : Dans ce cas, la tangente à $\CC$ en est la droite qui passe par de vecteur directeur le vecteur $\vec V''(t_0)=\frac{\rm d^2}{{\rm d}t^2}M(t_0)$ de composantes .
Si $\vec V'(t_0)=\vec V''(t_0)=...=\vec o$ , $\vec V^{(p)}(t_0)\ne\vec o$ : On généralise le cas précédent. La tangente à $\CC$ en est la droite qui passe par et qui a comme vecteur directeur $\vec V^{(p)}(t_0)=(x^{(p)}(t_0),y^{(p)}(t_0))$ .

Position de $\CC$ par rapport à en un point

On designe par le premier entier $\ge0$ tel que $(x^{(p)}(t_0),y^{(p)}(t_0))\ne(0,0)$ :

$\displaystyle p=\min\set{ p\in\N^*\mid \vec V^{(p)}\ne\vec o}$

et par

le premier entier strictement supérieur à

tel que les vecteurs $\vec V^{(p)}$ et $\vec V^{(q)}$ ne soient pas colinéaires. (On peut écrire

$\displaystyle q=\min\set{ q\in\N^*\mid \vec V^{(q)}\ne\l\,\vec V^{(p)} ~\forall\l\in\R}$

car pour $q\le p$ la dernière relation n'est pas satisfaite non plus.

Ecrivons la formule de Taylor-Young à l'ordre , le :

$\displaystyle (S)~\CASES{ x(t) = x(t_0) + \frac{(t-t_0)^p}{p!}\,x^{(p)}(t_0) +... ...,y^{(p)}(t_0) +...+\frac{(t-t_0)^q}{q!}\,y^{(q)}(t_0) +(t-t_0)^q\,\veps_2(t) }$

avec $\lto \veps_1(t)=0$ et $\lto \veps_2(t)=0$ .
En écrivant

sous forme vectorielle, il vient:

$\displaystyle f(t) = f(t_0) + \frac{(t-t_0)^p}{p!}\,\vec V^{(p)}(t_0) +... +\frac{(t-t_0)^q}{q!}\,\vec V^{(q)}(t_0) +(t-t_0)^q\,\vec\veps(t)$

Or, $\vec V^{(p+1)}(t_0),...,\vec V^{(q-1)}(t_0)$ sont colinéaires à $\vec V^{(p)}(t_0)$ , donc

$\displaystyle f(t) =$	$\displaystyle f(t_0) + (t-t_0)^p\lr[]{\frac1{p!} +\l _{p+1}\,\frac{t-t_0}{(p+1)!} + ... +\l _{q-1}\,\frac{(t-t_0)^{q-p-1}}{(q-1)!} }\,\vec V^{(p)}(t_0)$
	$\displaystyle +\frac{(t-t_0)^q}{q!}\,\vec V^{(q)}(t_0) +(t-t_0)^q\,\vec\veps(t)$

Etudions le vecteur $\overrightarrow{M(t_0)\,M(t)}$ dans le repère $(M(t_0),\vec V^{(p)}(t_0),\vec V^{(q)}(t_0))$ . Si

designent ses composantes dans cette base, on a les équivalences

(au voisinage de

)

$\displaystyle x_1(t)\underset{(t_0)} \sim\frac{(t-t_0)^p}{p!}$ et $\displaystyle y_1(t)\underset{(t_0)} \sim\frac{(t-t_0)^q}{q!}$

Selon la parité de

et de

, on a les résultats suivants:

$\begin{figure} % latex2html id marker 693 \epsfxsize\textwidth \noindent \epsfbox{A4c.eps}\par\end{figure}$

Définition

pair et impair: au voisinage de , $x_1(t)\ge0$ et a le signe de : $\CC$ traverse la tangente en , qui est un point de rebroussement de espèce.
pair et pair: au voisinage de , $x_1(t)\ge0$ et $y_1(t)\ge0$ , indépendamment du signe de : $\CC$ ne traverse pas la tangente ; est un point de rebroussement de espèce.
impair et pair: au voisinage de , change de signe et $y_1(t)\ge0$ : $\CC$ touche la tangente ; est appele ``méplat''.
impair et impair: au voisinage de , et changent de signe: $\CC$ traverse la tangente en , qui est appelé point d'inflexion.