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Etude d'un exemple

Etudions la courbe $\CC$ définie par $\CASES{ x=t^2+\frac2{t} \\ y=t^2+\frac1{t^2} }$ .

Domaine de définition:

sont définis sur $\D=\R\setminus\set0$

Recherche de symétries: il n'y a pas de symétries évidentes. (

est paire mais

n'a pas de parité définie.)

Etude de branches infinies

$t\to\pm\infty$ : On a $x\to+\infty$ et $y\to+\infty$ , il faut donc étudier $\frac yx\EQUIV {\pm\infty}\frac{t^2}{t^2}=1$ , et $% latex2html id marker 2236 $ y(t)-1{\text .}x(t)=\frac1{t^2}-\frac2{t}=0$$ : La droite d'équation $\Delta: y=x$ est asymptote à la courbe pour les deux arcs infinis $t\to\pm\infty$ .
$t\to0$ : On a $y\sim\frac1{t²}\to+\infty$ et $x\sim\frac2t\mathop{\longrightarrow}\limits_{t\to0\pm}\pm\infty$ (selon la signe de ). On étudie donc $\frac yx\sim_0\frac{t}{2t²}=\frac1{2t}\to\pm\infty$ , on a donc deux branches parabolique de direction en

étude du signe de

$\displaystyle \CASES{ x'(t)=2\,t-\frac2{t^2} = \frac2{t^2}\p{t^3-1} = \frac2{t^... ...2\,t-\frac2{t^3} = \frac2{t^3}\p{t^4-1} = \frac2{t^3}\p{t^2+1}\p{t-1}\p{t+1} }$

donc

a le signe de

$\begin{displaymath} \begin{array}{r\vert ccccc\vert\vert ccccc} t&-\infty&&-1&&\... ...row&+\infty\\ \hline y'(t)&&-&0&+&&&-&0&+\\ \hline \end{array}\end{displaymath}$

étude en

$x'(1)=y'(1)=0\impl M(1):(3,2)$ est un point stationnaire

Calculons les derivées successives de et en pour connaître le vecteur directeur de la tangente et la nature du point:

$\displaystyle \CASES{ x''(t)=2+\frac4{t^3} \\ y''(t)=2+\frac6{t^4}} \impl \CASES{ x''(1)=6 \\ y''(1)=8}$

Donc $\vec V''(1)=(6,8)\ne\vec0 \impl \CC$ admet une tangente en

de vecteur directeur $\vec V''(1)=(6,8)$ .
(Son équation est donc $T: y=\frac86(x-3)+2=\frac43x-2$ .)

Nature du point:

$\displaystyle \CASES{ x'''(t)=-\frac{12}{t^4} \\ y'''(t)=-\frac{24}{t^5}} \impl \CASES{ x'''(1)=-12 \\ y'''(1)=-24}$

$\vec V'''(1)=(-12,-24)$ est non colinéaire à $\vec V''(1)=(6,8)$ , on est donc dans le cas

, le point

est un pt de rebroussement de

espèce.

recherche de points doubles:
cherchons $t'\ne t$ tel que

$\displaystyle \CASES{ x(t')=x(t)\\ y(t')=y(t) } \iff \CASES{ {t'}^2+\frac2{t'}=t^2+\frac2{t} \\ {t'}^2+\frac2{{t'}^2}={t}^2+\frac2{t^2} }$

$\displaystyle \CASES{ {t'}^2-t^2=\frac2{t}-\frac2{t'} =2\frac{t'-t}{t\,t'} \\ {... ...^2}{{t'}^2\,t^2} } \iff \CASES{ {t'}+t=\frac2{t\,t'} \\ 1=\frac1{t^2\,{t'}^2}}$

car $t\ne t'$ . Donc

$\displaystyle \CASES{ t\,t'=\pm1 \\ t+t'=\pm2 } \iff \CASES{ t'=\pm\frac1t \\ t^2\mp2t\pm1=0 }$

Le premier choix de signes est à exclure car il correspond à

, soit

. Donc

sont les solutions à

, soit $t=-1+\sqrt2$ et $t'=-1-\sqrt2$ .

Le point double est donc .

Tracé de la courbe: (cf. figure ci-dessous)
on reporte les asymptotes, le pt. stationnaire avec sa tangente. En partant de $-\infty$ , au dessus de l'asymptote, on rejoint le pt.

avec une tangente horizontale, puis on repart pour $t\to0-$ vers $x=-\infty$ , $y=+\infty$ (brache parabolique de direction

) (pour $x=-10, y\approx25$ ).

Pour au voisinage de $+\infty$ , on vient de en-dessous de l'asymptote , et on rejoint le pt. singulier avec la tangente de vecteur directeur , puis on repart de l'autre coté de cette tangente, en passant par le pt. double (5,6), pour la branche parabolique de direction , quand $t\to0+$ (pour $x=10, y\approx25$ ).

**Figure:** Graphe de la courbe étudiée, avec l'asymptote et le vecteur directeur de la tangente en le point de rebroussement.
$\begin{figure} % latex2html id marker 773 \epsfxsize\textwidth \noindent \epsfbox{A4.eps}\par\end{figure}$

monter:

Fonctions à valeur dans

Etude de points particuliers

Maximilian_F.Hasler