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Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures Notions de base

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Notions de base

X désigne un ensemble.
Définition Une application $d:X^2 \longrightarrow {\rm I\!R }^+$ définit une métrique (ou une distance) sur X si elle vérifie:

$\forall x,y\in X d(x,y)=d(y,x)$
$\forall x,y\in X d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
L'inégalité triangulaire: $\forall x,y,z \in X d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

Définition On appelle espace métrique tout couples (X,d) ou d est une métrique

sur X.
Exemple (IR,| |), ( ${\rm I\!R }^n$ , $\Vert \Vert _k$ ) où si $x,y\in X$ et si $(x_i)_{i=1..n}, (y_i)_{i=1..n}$ désignent les coordonnées de x et y,

$\begin{displaymath}\Vert x-y\Vert _k=\displaystyle {(\sum_{i=1}^{n}\vert x_i-y_i\vert^k})^{1/k}\end{displaymath}$

Dans toute la suite on considère un espace métrique (X,d)
Définition Soit $x_0\in X$ .

On appelle boule ouverte de centre et de rayon l'ensemble $\lbrace x \in X ; d(x,x_0)<r \rbrace$ que l'on note .
On appelle boule fermée de centre et de rayon l'ensemble $\lbrace x \in X ; d(x,x_0)\leq r \rbrace$ que l'on note ou encore

$\begin{displaymath}\overline {B}(x_0)(r).\end{displaymath}$