Distance d'un point à une partie

Proposition Soit une partie non vide d'un espace métrique . L'application qui à dans associe est continue et -lipschitzienne.

Cette proposition servira un peu partout, par exemple pour le lemme (très utile pour approximer des fonctions par des fonctions ), ou pour le lemme , ou pour voir que les -voisinages sont ouverts.

Démonstration: Soit dans , montrons que est continue en . Considérons dans , et donnons nous (figure ).

Par définition de et de l'inf, il existe tel que . Alors , donc . En faisant tendre vers 0 on obtient . De même on aurait . Donc

Figure: Continuité de la distance à une partie: une simple application de l'inégalité triangulaire.

Corollaire La distance entre un compact et un fermé disjoints est .

par distance entre un compact et un fermé on entend l' de la distance entre un point du compact et un point du fermé.

Démonstration: La distance à un ensemble étant continue, la distance d'un point du compact au fermé atteint son minimum sur le compact (voir ). Si la distance est nulle, alors elle est nulle en un certain point du compact. On prend alors une suite du fermé tendant vers (par exemple ); sa limite est nécessairement dans le fermé, donc est à l'intersection du fermé et du compact, donc ces deux ensembles ne sont pas disjoints. D'où la contradiction, et le résultat.

La distance entre deux fermés disjoints n'est pas nécessairement non nulle! Considérer dans les fermés et définis par