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Précompacité

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Précompacité

On considère dans cette partie un espace métrique (X,d).

Définition On dit que la famille $\lbrace x_i;i=1,...,p \rbrace$ d'éléments de X est un $\varepsilon$ -réseau de X si X= $\displaystyle{\bigcup_{i=1}^p} \overline{B}(x_i,\varepsilon)$ où $\overline{B}(x,\varepsilon)$ désigne la boule fermée de centre x et de rayon $\varepsilon$ .

Définition On dit que (X,d) est précompact si $\forall \varepsilon>0$ il existe un $\varepsilon$ -réseau de X.

Proposition Si (X,d) est précompact, alors pour tout sous ensemble Y de X muni de la métrique induite (notée, par abus d'écriture, d):

(Y,d) est précompact.
( $\overline Y$ ,d) est précompact.

Démonstration

Montrons que (Y,d) est précompact. Soit $\varepsilon>0$ et soit $\lbrace x_i;i=1,...,p \rbrace$ un $\varepsilon/2$ -réseau de X. En particulier, on a Y $\subset \displaystyle{\bigcup_{i=1}^p} \overline{B}(x_i,\varepsilon/2)$ . Nommons A la sous famille de $\lbrace x_i;i=1,...,p \rbrace$ des éléments x tels que $\overline{B}(x_i,\varepsilon/2)$ intersecte Y. On peut écrire: Y $\subset \displaystyle{\bigcup_{i=1}^p} \overline{B}(x_i,\varepsilon/2)$ . Le problème est que les x de A ne sont pas nécessairement éléments de Y. Par contre, comme pour tout x de A, $\overline{B}(x_i,\varepsilon/2) \cap Y \neq \emptyset$ , dans chacune de ces intersections, on peut trouver un élément y de A tel que

$\begin{displaymath}\overline{B}(x_i,\varepsilon/2)\subset \overline{B}(y_i,\varepsilon).\end{displaymath}$

La famille $\lbrace y_i \rbrace$ est alors un $\varepsilon$ -réseau de Y.
Montrons que ( $\overline Y$ ,d) est précompact si (Y,d) l'est. Soit $\varepsilon>0$ . Soit $\lbrace x_i ; i=1,...,n \rbrace$ un $\varepsilon$ réseau de Y. On peut donc écrire: Y $\subset \displaystyle{\bigcup_{i=1}^p} \overline{B}(x_i,\varepsilon)$ et donc

$\begin{displaymath}\overline{Y} \subset \overline{\displaystyle{\bigcup_{i=1}^p} \overline{B}(x_i,\varepsilon)}.\end{displaymath}$

Mais ceci implique que $\overline{Y}\subset \displaystyle{\bigcup_{i=1}^p} \overline{B}(x_i,\varepsilon)$ , cqfd.

Théorème On a équivalence entre:

(X,d) est compact.
(X,d) est précompact et complet.

Démonstration

Supposons que X est compact. Soit $\varepsilon>0$ et soit le recouvrement ouvert de X: (B(x, $\varepsilon$ )) $_{x\in X}$ . Comme X est compact, on peut en extraire un recouvrement fini de la forme (B(x, $\varepsilon$ )) $_{i=1,...,n}$ où les x sont des éléments de X. On a ainsi prouvé l'existence d'un $\varepsilon$ -réseau. D'autre part, on sait que tout espace métrique compact est complet.
Supposons X précompact et complet. Supposons de plus que X n'est pas compact. Soit la suite de réels ( $\varepsilon_n$ ) $_{n\in {\rm I\!N }}$ choisie en sorte qu'elle soit convergente vers 0. Comme X est précompact, il existe un $\varepsilon_0$ -réseau de X: $\lbrace x_i ; i=1,...,n \rbrace$ . Comme X n'est pas compact, on peut trouver un recouvrement ouvert de X : $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ tel qu'aucune sous famille finie de ce recouvrement ne recouvre X. En particulier, il existe une boule B= $\overline{B}$ (x, $\varepsilon_0$ ) (où x est un élément du $\varepsilon_0$ -réseau) telle qu'aucune sous famille fini de $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ ne la recouvre. On recommence le même raisonnement au sein du sous espace précompact B= $\overline{B}$ (x, $\varepsilon_0$ ). On choisit un $\varepsilon_1$ -réseau de B: $\lbrace y_1,....,y_m \rbrace$ . Ceci nous permet de construire une boule B= $\overline{B}$ (y, $\varepsilon_1$ ) où y est un élément du $\varepsilon_1$ -réseau. La boule B est telle qu'aucune sous famille de $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ ne la recouvre. On construit par récurrence et par cette méthode une suite décroissante de boules fermées $(B_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ telle que B a pour rayon $\varepsilon_i$ . Aucune sous famille finie de $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ ne recouvre un élément B de cette suite. Par contre, comme $(B_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est une suite de sous ensemble de X dont le diamètre ( diamètre de B= $\varepsilon_k$ ) tend vers 0 et que X est complet, il existe un élément x de X tel que $\displaystyle{\bigcap_{i \geq 0}} B_i=\lbrace x \rbrace$ . x étant élément de X et $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ étant une famille dont la réunion est égale à X, il existe un élément U de $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ tel que x $\in$ U. Mais U est un ouvert de X. On peut donc trouver un réel strictement positif $\varepsilon$ tel que $B(x,\varepsilon)$ $\subset$ U. Mais comme x est élément de chaque B pour k $\in$ INet que $(\varepsilon_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ tend vers 0, on peut trouver une boule B de rayon suffisemment petit en sorte qu'elle soit toute entière contenue dans $B(x,\varepsilon)$ . Cette boule B est tout entière dans U et est par conséquent recouvrable par une sous famille finie de $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ . Ceci est en contradiction avec ce que nous connaissons de $(B_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ et prouve que notre hypothèse de départ est fausse. Ainsi X est compact.

Ajoutons la définition suivante:

Définition On dira qu'un sous espace A d'un espace topologique (Z, $\cal O$ ) est relativement compact (pour la topologie induite) si son adhérence est compact.