Nous allons le traiter d'un façon très générale, par une
méthode que l'on pourrait qualifier de récurrence. En fait, il
s'agit d'un "arbre de décisions" qui se ramifie pour chaque
possibilité de choix : choix de (m) par le joueur, et "choix" de la
couleur de boule par le hasard (mais, plus exactement, par le croupier,
Monsieur Hasard, qui n'est pas très honnête).
Etant donné r, b et M fixés, le résultat dépend du handicap
(h). On conçoit que si h est grand, le joueur ne pourra pas gagner. Pour
h suffisamment petit, dans certaines conditions il deviendra possible de
gagner à coup sûr. Soit H(b,r) la valeur de h se situant à la
limite entre ces deux cas :
Si h> H(b,r), le joueur n'a pas la certitude de gagner.
Si 0hH(b,r), il existe au moins une stratégie pour gagner
à coup sûr.
Convention : Si H(b,r)<0, il faudrait que h soit négatif pour
pouvoir gagner, ce qui n'est pas envisagé dans la présente
étude. Ainsi, H(b,r)<0 signifie que la branche correspondante de l'arbre
de décision est une branche "perdante".
Par convention, toutes les branches "perdantes" seront repérées par
H(b,r)= -1 (ce qui est sans incidence sur les résultats puisque la
branche correspondante est "perdante", quel que soit la valeur
négative).
Si on connaît H(b,r), on peut répondre à la question posée
à la première ligne.
Observation importante : L'intérêt du joueur est que h soit
le plus petit possible et H(b,r) le plus grand possible. En effet, pour
gagner à coup sûr, il faut que hH(b,r).
Au contraire, l'intérêt de Monsieur Hasard est que h soit le plus
grand possible et H(b,r) le plus petit possible. En effet, pour que le
joueur ne puisse pas gagner à coup sûr, il faut que h>H(b,r).
h
