Théorème ( d'Eisenstein ) étant un acui factoriel, si:
avec
primitif et
et
alors
Démonstration
Comme
et que est factoriel,d'après la proposition 16,
on a est un idéal premier non nul donc on peut appliquer l'énoncé précédent.
Exemple:
car en interprétant
comme un polynôme de
i.e.un polynôme à une seule
indéterminée et à coéfficients dans l'anneau factoriel
soit
les conditions de EISENSTEIN II sont
vérifiées car est primitif vu que le coéfficient de est
1 et de plus
vu que est
primitif et du 1er degré(théorème de caractérisation des premiers
de où est un acui). on a bien
et
.Doù
Dès
lors on en déduit que les 7 interprétations de par polymorphie
sont premières sur leurs anneaux de scalaires respectifs(théorème
1).
étant un acui factoriel, si:
![$ P\in A[X]$](/p/g/b/img473.png){kind=small}
avec
primitif et
et
![$ P\in \mathcal{P}(A[X])$](/p/g/b/img557.png){kind=small}
et que 
est un idéal premier non nul donc on peut appliquer l'énoncé précédent.
![$ P=X+5X^2Y-X^3Z^7+Y^2\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Y,Z])$](/p/g/b/img748.png){kind=small}
car en interprétant
comme un polynôme de
![$ \mathbb{Z}[X,Z][Y]$](/p/g/b/img749.png){kind=small}
i.e.un polynôme à une seule
indéterminée 
et à coéfficients dans l'anneau factoriel
![$ \mathbb{Z}[X,Z]$](/p/g/b/img750.png){kind=small}
soit
les conditions de EISENSTEIN II sont
vérifiées car 
est
1 et de plus
![$ p=X\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Z])$](/p/g/b/img753.png){kind=small}
vu que 
est
primitif et du 1er degré(théorème de caractérisation des premiers
de ![$ A[X_i]$](/p/g/b/img6.png){kind=small}
où 
et
.Doù
![$ P\in \mathbb{Z}[X,Z][Y]$](/p/g/b/img756.png){kind=small}
Dès
lors on en déduit que les 7 interprétations de 
