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Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures Théorème de Gauss:

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Théorème de Gauss:

$\forall (a,b,c)\in A^3\qquad a$ est premier avec

et $a\vert bc \Longrightarrow a\vert c$
Comme

est premier avec

alors

ne sont pas tous les deux nuls.
$a\vert bc \iff\exists d\in A\qquad bc=ad$
Si

alors

et comme $b\neq 0$ on a

et donc $a\vert c$
Si

comme

est premier avec

alors $a\neq0$ et

est inversible(sinon

, d'après la proposition 2,admettrait un diviseur premier qui diviserait aussi

d'où une contradiction).Donc $a\vert c$ vu que $c=a(ca^{-1})$
Si

alors $a\vert c$
Si enfin

sont non nuls alors

ont la même décomposition primaire d'où après simplification des facteurs inversibles et avec des notations évidentes

$\displaystyle \prod_{p\in S}p^{\beta_p}\prod_{p\in S}p^{\gamma_p}=\prod_{p\in S} p^{\alpha_p}\prod_{p\in S}p^{\delta_p}$

d'où
$\beta_p+\gamma_p=\alpha_p+\delta_p$ ce qui implique $\forall p\in S\qquad \alpha_p\leq \gamma_p$ sinon
il existerait $p\in S$ tel que $\alpha_p>\gamma_p\geq0$ d'où $\alpha_p>0$ et alors $p\vert a$ et puis $\beta_p=(\alpha_p-\gamma_p)+ \delta_p\geq\alpha_p-\gamma_p>0$ soit $\beta_p>0$ et alors $p\vert b$ .
On aurait alors