Warning: include() [function.include]: Unable to access ../../../visiteurs-2.0/include/new-visitor.inc.php3 in /var/www/www.les-mathematiques.sesamath.net/htdocs/p/g/b/node8.php3 on line 1

Warning: include(../../../visiteurs-2.0/include/new-visitor.inc.php3) [function.include]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/www.les-mathematiques.sesamath.net/htdocs/p/g/b/node8.php3 on line 1

Warning: include() [function.include]: Failed opening '../../../visiteurs-2.0/include/new-visitor.inc.php3' for inclusion (include_path='.:/usr/share/php:/usr/share/pear') in /var/www/www.les-mathematiques.sesamath.net/htdocs/p/g/b/node8.php3 on line 1
Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures ANNEAUX FACTORIELS

A lire

Deug/Prï¿½pa

Licence

Agrï¿½gation
A télécharger

Télécharger

personnes(s) sur le site en ce moment.

A. Grothendieck

A lire

Articles

Math/Infos

Rï¿½crï¿½ation
A télécharger

Télécharger

Thï¿½orï¿½me de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

suivant: Théorème de permanence de monter: Arithmétique factorielle précédent: Théorème d'Euclide:

ANNEAUX FACTORIELS

$\fbox{ANNEAUX FACTORIELS}$

On appellera anneau factoriel tout acui

dont le demi-groupe

est factoriel i.e. un acui ayant des premiers( $\mathcal{P}(A)\neq \emptyset)$ et pour lequel il existe une décomposition primaire unique pour tout élément non nul de

après choix(axiome du choix) d'un système représentatif

des premiers de A.
Autrement dit l'application de

x $\mathbb{N}^{(S)}$ dans $A\setminus\{0\}$ définie par
$(\epsilon,(\alpha_{p})_{p\in S})\longmapsto \epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$ est bijective.
Tout élément

non nul de

s'écrira de manière unique sous la forme $a= \epsilon_a\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$ .
Dans ce chapitre,sauf avis contraire,

désignera un anneau factoriel.

LES PROPRIETES PRECEDENTES D'UN DEMI-GROUPE
FACTORIEL SONT BIEN SUR VALABLES DANS UN ANNEAU FACTORIEL.
ELLES CONSTITUENT L'ARITHMETIQUE FACTORIELLE.
Proposition 16:
"caractérisation des éléments premiers d'un anneau factoriel grâce aux idéaux"
$p\in \mathcal{P}(A)\iff pA$ est un idéal premier non nul(i.e.

est un anneau intègre et $pA\neq0$ ).
Démonstration $(\Longrightarrow ?)$
D'abord $pA\neq0$ car $p.1=p\in pA$ et $p\neq0$ vu qu'il est premier.
Ensuite $ab\in pA\Longrightarrow p\vert ab$ d'où comme

est factoriel $p\vert a$ ou $p\vert b$ (théorème d'Euclide) soit $a\in pA$ ou $b\in pA$ et ainsi

est bien intègre.

$(\Longleftarrow ?)$ Cette implication est vraie hors factorialité de l'anneau.
Soit

dans

alors $qr\in pA$ d'où $q\in pA$ ou $r\in pA$
$\bullet$ Si $q\in pA$ alors

puis

et comme $p\neq0$ (sinon

) on a

et donc $r\in A^*$ alors que $q\notin A^*$ (sinon comme

et $a\in A^*$ on aurait $p\in A^*$ d'où

serait l'anneau nul ce qui contredirait l'intégrité de

) .En résumé on a

ou bien $r\in A^*$ i.e. $p\in \mathcal{P}(A)$ .
$\bullet$ Si $r\in pA$ on procède de manière analogue. Proposition 17: "écriture simplifiée des éléments de "
Tout élément de

s'écrit de manière unique sous la forme $\frac{a}{b}$ où b est un élément simple et

.
Démonstration $\bullet$ Si $\frac{N}{D}(\neq0)\in Q_A$ alors

ont une décomposition primaire qui permet de simplifier les facteurs premiers de

communs aux 2 décompositions et d'obtenir $\frac{n}{d}$ .On peut écrire en décomposant

$\displaystyle \frac{n}{d}=\frac{\epsilon_n \prod_{p\in S}p^{\nu_p}}{\epsilon_d\prod_{p\in S}p^{\delta_p}}= \frac{a}{b}$

où $a=(\epsilon_n.\epsilon_d^{-1})\prod_{p\in S}p^{\nu_p}$ et $b=\prod_{p\in S}p^{\delta_p}$ ;

est bien simple et il est clair que

vu que

n'ont aucun diviseur premier commun.
Prouvons maintenant l'unicité.
Si $\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$ avec

simples ainsi que

alors

d'où $a\vert a'b$ et comme

est premier avec

on a $a\vert a'$ (théorème de Gauss) et de même on a $a'\vert a$ ,finalement

sont associés i.e. qu'il existe $\epsilon\in A^*$ tel que $a'=\epsilon a$ . Or $ab'=a'b\Longrightarrow \varphi{(ab')}=\varphi{(a'b)}\Longrightarrow \varphi{(a)}\varphi{(b')}= \varphi{(a')}\varphi{(b)}$ or $\varphi{(b)}= \varphi{(b')}=1$ vu que

sont simples d'où $\varphi{(a)}=\varphi{(a')}= \varphi{(\epsilon a)}=\varphi{(\epsilon)}\varphi{(a)}=\epsilon\varphi{(a)}$ soit $\varphi{(a)}=\epsilon\varphi{(a)}$ et enfin $\epsilon=1$ vu que $\varphi{(a)}$ est inversible.
On a donc

d'où

et comme $a\neq0$

est simplifiable en vertu de la proposition 0;par conséquent

et on a bien l'unicité annoncée.
$\bullet$ Si $\frac{N}{D}=0$ alors on convient de l'écrire $0=\frac{0}{1}$ où l'on constate bien que 1 est un élément simple et

.
Finalement on a bien l'unicité de l'écriture simplifiée des éléments de

.
Remarque: tout élément

est aussi dans

et à ce titre son écriture simplifiée sera $a=\frac{a}{1}$ le 1 étant bien un élément simple et

Exemple:avec $A=\mathbb{Z}$ on a $Q_A=\mathbb{Q}$ et les éléments simples de $\mathbb{Z}$ sont les entiers positifs(Si $S=\mathcal{P}(\mathbb{N})).$
L'écriture simplifiée de $\frac{1400}{-2750}=\frac{2^{3}.5^{2}.7}{-2.5^{3}.11}=\frac{2^{2}.7}{-5.11}$ sera donc $\frac{-28}{55}$ .