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Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures Théorème de permanence de la factorialité(Gauss)

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Théorème de permanence de la factorialité(Gauss)

est un anneau factoriel $\Longrightarrow A[X]$ est un anneau factoriel.
(En fait Gauss a montré que $\mathbb{Z}[X]$ était factoriel.)

On adoptera pour les polynômes non nuls de

la notation:

etc...
Ces écritures supposent que $p_n\neq0$ et $q_k\neq0$ donc tous les coéfficients de

ne sont pas nuls et ainsi

existe même si certains des

sont nuls.
Définition :
$P\in A[X]$ sera dit primitif si et seulement si les seuls diviseurs des coéfficients de

sont les inversibles de

ce qui revient à $P\neq0$ et

c'est immédiat avec la proposition 6.
Lemme de Gauss:

primitifs $\Longrightarrow \quad PQ$ est primitif.
Démonstration $\bullet$ Si

est constant, par exemple

, alors

constant et primitif implique

est inversible sinon

serait non inversible,il admettrait donc un diviseur premier(proposition 2)qui bien sûr ne serait pas inversible d'où une contradiction.

étant inversible on a $\epsilon_P=\varphi(P)=P$ .De plus comme

est primitif on a $P\neq0$ et idem pour

donc $PQ\neq0$ d'où d'après la proposition 8 $PGCD(Pq_i)=\epsilon_P^{-1}.P.PGCD(q_i)\Longrightarrow PGCD(Pq_i)=P^{-1}P=1$ i.e.

est primitif.
$\bullet$ Si

ne sont pas constants
Par l'absurde,si

n'était pas primitif ses coéfficients admettraient un diviseur non inversible qui admettrait lui-même en vertu de la proposition 2 un diviseur premier

;dès lors

serait intègre(proposition 16) ainsi que

Soit $\phi$ l'application définie par
$A[X]\ni P=p_0+p_1X+..p_nX^n\quad\mapsto\quad \overline {p_0}+\overline{p_1}Y+...\overline{p_n}Y^n \in (A/pA)[Y]$
C'est clair que $\phi(PQ)=\phi(P)\phi(Q)$ .
On aurait $\phi(PQ)=\overline{0}$ car

diviserait tous les coéfficients de

or $\phi(P)\neq\overline{0}$ et $\phi(Q)\neq\overline{0}$ car

ne divise ni tous les coéfficients de

ni tous ceux de

car

sont primitifs d'où la contradiction, vu l'intégrité de

.
Définition :contenu d'un polynôme
On rappelle que

désigne le corps des fractions de

.On notera conformément à l'usage $\frac{a}{b}$ pour $cl(\frac{a}{b})$ .
Si un polynôme $P\in Q_A[X]$ peut s'écrire sous la forme $P=\frac{a}{b}P'$ avec
$\frac{a}{b}\in Q_A\setminus \{0\}$ et $P'\in A[X]$ primitif on dira que $\frac{a}{b}$ est un contenu de

et alors nécessairement $P\neq0$ car

est primitif donc $P'\neq 0$ .Le polynôme nul n'a donc pas de contenu et un contenu n'est pas nul par définition.
Proposition 18:
"Deux contenus d'un polynôme non nul de

sont associés sur

"
Démonstration $P=\frac{a}{b}P'=\frac{c}{d}P''\Longrightarrow \exists \epsilon\in A^*\qquad \frac{a}{b}=\epsilon\frac{c}{d}$
Si on note

les coéfficients de

ceux de

comme

sont tous non nuls les

ne sont pas tous nuls ainsi que les

.On peut alors appliquer la proposition 8 et $adP'=bcP''\Longrightarrow PGCD(adp_i')= PGCD(bcp_i'')$ puis $\epsilon_{ad}^{-1}.ad.PGCD(p_i')=\epsilon_{bc}^{-1}.bc.PGCD(p_i'')$ soit $\epsilon_{ad}^{-1}.ad=\epsilon_{bc}^{-1}.bc$ CQFD. On va montrer que tout polynôme non nul $P\in Q_A[X]$ admet un contenu.
Posons $P=p_0+p_1X+...+p_nX^n\in Q_A[X]$ .D'après la proposition 17 tout

peut s'écrire de manière unique sous la forme $p_i=\frac{a_i}{b_i}$ avec

qui est simple.Comme tous les

sont non nuls on a $M=PPCM(b_i)\neq0$ et si on pose

alors $p_i=\frac{a_i}{b_i}= \frac{a_ic_i}{b_ic_i}=\frac{a_ic_i}{M}$ d'où
$P=\frac{a_{0}c_{0}}{M}+ \frac{a_{1}c_{1}}{M}X+...+\frac{a_{n}c_{n}}{M}X^n=\frac{1}{M}(a_{0}c_{0}+ a_{1}c_{1}X+...+a_{n}c_{n}X^n)$
Posons $D=PGCD(a_{i}c_{i})$ d'où $PGCD(\frac{a_{i}c_{i}}{D})=1$ (proposition 7) et
$P=\frac{D}{M}(\frac{a_{0}c_{0}}{D}+\frac{a_{1}c_{1}}{D}X+...+\frac{a_{n}c_{n}}{D}X^n)= \frac{D}{M}P'$ avec $P'\in A[X]$ primitif.
Quant à $\frac{D}{M}$ on dira que c'est LE contenu de

et on le notera